Pseudo-split fibres and arithmetic surjectivity

Let f : X ! Y be a dominant morphism of smooth, proper and geometrically integral varieties over a number field k, with geometrically integral generic fibre. We give a necessary and sufficient geometric criterion for the induced map X(kv) ! Y (kv) to be surjective for almost all places v of k. This generalises a result of Denef which had previously been conjectured by Colliot-Thélène, and can be seen as an optimal geometric version of the celebrated Ax-Kochen theorem. Soit f : X ! Y un morphisme dominant de variétés lisses, propres et géométriquement intègres définies sur un corps de nombres k, dont la fibre générique est géométriquement intègre. Nous donnons un critère géometrique, à la fois nécessaire et suffisant, pour que l'application induite X(kv) ! Y (kv) soit surjective pour presque toute place v de k. Ceci généralise un résultat de Denef précédemment conjecturé par Colliot-Thélène. Notre résultat peut être vu comme une version géométrique optimale du célèbre théorème de Ax-Kochen. 14G05, 14G20, 14G25, 14D10